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量子ゲート

パウリXゲート

ビット反転ゲート。 ブロッホ球上で、$x$軸周りに$180^\circ$回転させることに相当。

$$ X = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} $$
$$ X | 0 \rangle = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = | 1 \rangle $$
$$ X | 1 \rangle = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = | 0 \rangle $$

パウリYゲート

ビット・位相反転演算子。 ブロッホ球上で、$y$軸の周りに$180^\circ$回転させることに相当。

$$ Y = \begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix} $$
$$ Y | 0 \rangle = \begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ i \end{bmatrix} = i | 1 \rangle $$
$$ Y | 1 \rangle = \begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -i \\ 0 \end{bmatrix} = -i | 0 \rangle $$

パウリZゲート

位相反転演算子。ブロッホ球上では、$z$軸周りに$180^\circ$回転することに相当。 $| 0 \rangle$ はそのまま出力、$| 1 \rangle$に対してのみ反転を行う。

$$ Z = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} $$
$$ Z | 0 \rangle = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = 0 | \rangle $$
$$ Z | 1 \rangle = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \end{bmatrix} = - 1 | \rangle

$$

アダマールゲート

量子ビットを重ね合わせ状態にする。

$$ H = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} $$
$$ H | 0 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}

$$

$$ H | 1 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}

$$

位相シフトゲート

$$ S = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & i \end{bmatrix} $$

その反転

$$ S^{\dagger} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \
0 & -i \end{bmatrix} $$

$$ T = \begin{bmatrix} 1 & 0 \
0 & \exp (i\pi/4) \end{bmatrix} $$

その反転

$$ T^{\dagger} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \
0 & exp(-i\pi/4) \end{bmatrix}

$$

CNOTゲート

制御量子ビットが$0 | \rangle$なら何もしない。$1 | \rangle$ならXゲートを適用し、ビット反転を行う。

$$ {\rm CNOT} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} $$