量子ゲート
パウリXゲート
ビット反転ゲート。 ブロッホ球上で、$x$軸周りに$180^\circ$回転させることに相当。
$$
X =
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{bmatrix}
$$
$$
X | 0 \rangle
=
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 \\
0
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 \\
1
\end{bmatrix}
=
| 1 \rangle
$$
$$
X | 1 \rangle
=
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0 \\
1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 \\
0
\end{bmatrix}
=
| 0 \rangle
$$
パウリYゲート
ビット・位相反転演算子。 ブロッホ球上で、$y$軸の周りに$180^\circ$回転させることに相当。
$$
Y =
\begin{bmatrix}
0 & -i \\
i & 0
\end{bmatrix}
$$
$$
Y | 0 \rangle =
\begin{bmatrix}
0 & -i \\
i & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 \\
0
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 \\
i
\end{bmatrix}
=
i | 1 \rangle
$$
$$
Y | 1 \rangle =
\begin{bmatrix}
0 & -i \\
i & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0 \\
1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
-i \\
0
\end{bmatrix}
=
-i | 0 \rangle
$$
パウリZゲート
位相反転演算子。ブロッホ球上では、$z$軸周りに$180^\circ$回転することに相当。 $| 0 \rangle$ はそのまま出力、$| 1 \rangle$に対してのみ反転を行う。
$$
Z =
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{bmatrix}
$$
$$
Z | 0 \rangle
=
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 \\
0
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 \\
0
\end{bmatrix}
=
0 | \rangle
$$
$$
Z | 1 \rangle
=
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0 \\
1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 \\
-1
\end{bmatrix}
=
- 1 | \rangle
$$
アダマールゲート
量子ビットを重ね合わせ状態にする。
$$
H =
\frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
1 & -1
\end{bmatrix}
$$
$$
H | 0 \rangle
=
\frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
1 & -1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 \\
0
\end{bmatrix}
=
\frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{bmatrix}
1 \\
1
\end{bmatrix}
$$
$$
H | 1 \rangle
=
\frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
1 & -1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0 \\
1
\end{bmatrix}
=
\frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{bmatrix}
1 \\
-1
\end{bmatrix}
$$
位相シフトゲート
$$
S =
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & i
\end{bmatrix}
$$
その反転
$$
S^{\dagger} =
\begin{bmatrix}
1 & 0 \
0 & -i
\end{bmatrix}
$$
$$
T =
\begin{bmatrix}
1 & 0 \
0 & \exp (i\pi/4)
\end{bmatrix}
$$
その反転
$$
T^{\dagger} =
\begin{bmatrix}
1 & 0 \
0 & exp(-i\pi/4)
\end{bmatrix}
$$
CNOTゲート
制御量子ビットが$0 | \rangle$なら何もしない。$1 | \rangle$ならXゲートを適用し、ビット反転を行う。
$$
{\rm CNOT} =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0
\end{bmatrix}
$$