For all vs Exists

全称記号$\forall$ と、存在記号$\exists$の順序について。

例1-1

$$ \forall x \exists y , x < y $$ 全ての$x$について 「 $x < y$ となる $y$が存在する。」 ある$x$を決めると、$x < y$となる$y$は必ず存在する。

例。どのような$x$に対しても、$y = x+1$とすれば、必ず $x < y$が成立する。 よって上の命題は真。

例1-2

$$ \exists y \forall x , x < y $$ 「全ての$x$について $x < y$となる」$y$ が存在する。 そのような$y$が存在すると仮定する。 このとき例えば$x$として$x = y + 1$を考えると、$x < y$が成立しない。したがって、「全ての$x$について」 $x < y$ を成立させることはできない。 -> そのような$y$は存在しない。よって上の命題は偽。

例2

$M(x,y)$: 『$y$は$x$の母親である。』を表すとする。

例2-1

$$ \forall x \exists y , M(x, y) $$ は、「全ての子xにはある母親yがいる。」という命題を表す。この命題は真。(同性婚などの場合は母親役がいると仮定)

例2-1

$$ \exists y \forall x , M(x, y) $$ は、「全ての子供xの母親であるようなyがいる。」という命題を表す。この命題は偽。(神様みたいな人からみんな生まれてきたと考えるなら真？)

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